Вроде бы, я нашёл решение проблемы (но не причину): после обновления прошивки на роутере Keenetic Extra II до релизной версии 2.15 адаптер Keenetic Start можно подключить к локальной сети, чтобы он нормально имел доступ в интернет и пускал к себе в веб-интерфейс, только сбросив Start-у настройки, подключившись к нему по проводу и вручную прописав ему в настройках статический IP-адрес, шлюз (роутер Extra II) и DNS (опять же Extra II, плюс публичный DNS-сервер гугла). Тогда у него после включения загорается индикатор доступа к интернету, он нормально подключается к серверам обновлений, к серверам времени, а также ему можно зайти в веб-интерфейс (При этом на роутере у меня адаптеру уже и так выделен фиксированный IP-адрес).
Попробовал после перенастройки адаптера Start зайти к нему в веб-интерфейс и переключить способ получения IP-адреса на автоматический -- пропали пинг и возможность зайти в веб-интерфейс, а также, адаптер в веб-интерфейсе роутера отображался находящимся не в сети. При этом подключенные к адаптеру и включенные устройства отображались находящимися в сети. Пришлось опять сбрасывать настройки адаптера и перенастраивать его ручками, прописав ему в его веб-интерфейсе статический IP-адрес. аналогичный закреплённому за ним в роутере.
У меня был подобный глюк после обновления прошивки роутера Extra II не-то на версию 2.12, не то на версию 2.13. Только тогда интернет пропадал и в устройствах. подключённых к адаптеру. Но тогда для исправления ситуации мне понадобилось только сбросить настройки адаптера, подключиться к Start-у по проводу и вновь включить в нём режим адаптера, после чего я просто нажал кнопки WPS на роутере и адаптере, и адаптер нормально получил настройки сети от роутера и получил доступ в интернет.
В этот раз я сначала попробовал пойти таким же путём: после нажатия кнопок WPS адаптер к локальной сети подключился и даже подключённые к нему устройства получили доступ в интернет, вот только он сам не получил доступа в интернет, его не получалось пропинговать ("превышен интервал ожидания запроса") и нельзя было зайти ему в веб-интерфейс. А, да, ещё включенный адаптер отображался в роутере, будто он (адаптер) не находится в сети (то есть, не включён).
При этом, включить режим отладки на адаптере и посмотреть, что происходит, если позволить ему получать IP-адрес от роутера автоматически не получится. Вернее, отладку включить можно, можно потом переключить режим получения IP-адреса адаптером на авто, но, как показала практика, в этом случае адаптер перестаёт пинговаться, перестаёт пускать в веб-интерфейс, то есть выгрузить с него отладочную информацию невозможно. И лечится это только одним -- сбросом настроек и ручной перенастройкой адаптера, а в этом случае, как я полагаю, отладочная информация на адаптере не сохранится.
Тему, наверное, можно закрыть.